|
1-Suposem que tenim una urna amb `500` boles amb `189` boles de color blau i la resta de color negre. Si agafem una bola a l'atzar, quina és la probabilitat de que surti una bola blava? I no blava (o sigui negra)? 2-Fem el següent experiment, treiem una bola i la tornem a la bossa i a continuació en treiem una altra per segona vegada. Els esdeveniments i els probabilitats associades seran. Pensem que el fet de que hem tornat a la bossa la bola a la primera extrcció fa que la probabilitat no canviï. En diem `B_1` a l'esdeviment sorti bola blava a la primera extracció i `B_2` que surti blava a la segona extracció. Com els esdeveniments són independents, en tots els casos, `P(B_2|B_1)=P(B_2)=0,378`.
Com els esdeveniments son independents i la probabiliatat de la segona extracció no canvia no cal carregar la nomenclatura i deixarem de posar coses com `P(B_2|B_1)` i bo podem posar `P(B_2)`. ÉS més, encara hosimplificarem més, no posarem subíndex, posarem sensillament `P(B)` i en funció d ela columna que estigui en el diagrama d'arbre voldrà dir la primera o segona extracció. El diagrama quedarà moltmés simplificat.
El `0,378·0,378 = 0,142884` és la probabilitat de que surtin dos boles blaves. El `0,378·0,622 = 0,235116` és la probabilitat de que surti la primera blava i la segona, no blava (negra). El `0,622·0,378 = 0,235116` és la probabilitat de que surti la primera no blava (negra) i la segona blava. El `0,622·0,622 = 0,386884` és la probabilitat de que surtin dos boles no blaves (negres). Observem valgunes coses:
2-Si sumem totes les probabilitats `0,142884+0,235116+0,235116+0,386884 = 1` Aquestes probabilitats les podem posar en una gràfica, funció discreta, en que a l'eix `x` hi posem el nombre de boles blaves que surten i a l'eix `y` hi posem la probabilitat.
`P(1)=0,235116+0,235116=2·0,235116 = 0,470232` `P(2)=0,142884` Si això ho grafiquem és el que en diem funció de distribució binomial per `n=2` (tirem dues vegades) `p=0,388` i `q=(1-9)=0,622`. i `P(k)` on `k` és el número d'èxits, que en el nostre cas és sortir bola blava que pot agafar els valors `k=0`, cap èxit, les dues boles no són blaves. `k=1` surt una bola blava i `k=2`, les dues bols són blaves. La fórmula per calcular aquestes probabilitats és, pot se rla justifiquem més endavant. $$P(k)= {n \choose k}p^k·(1-p)^{n-k}$$ Que, el nostre cas seria: $$P(k)= {2 \choose k}0,388^k·0,622^{2-k}$$ Podem comprovar que dona els resultats calculats:
`P(1)=2·0,378^1·0,622^1 = 0,470232` `P(2)=1·0,378^2·0,622^0 = 0,142884` Podem calcular la mitjana de les probabilitats amb la fórmula:
També podem calcular la desviació típica:
Això ho podem veure amb el programa Binomial.  Si en lloc de treure dues boles en treiem tres en les mateixes condicions (com el no bé `bar(B)` no es veu gaire bé, en direm a l'esdeveniment `bar(B)=N`: `P(N N N)=0,622·0,622·0,622 = 0,240642` `P(N N B)=0,622·0,622·0,378 = 0,146242` `P(N B N)=0,622·0,378·0,622 = 0,146242` `P(B N N)=0,378·0,622·0,622 = 0,146242` `P(N B B)=0,622·0,378·0,378 = 0,088874` `P(B N B)=0,378·0,622·0,378 = 0,088874` `P(B B N)=0,378·0,378·0,622 = 0,088874` `P(B B B)=0,378·0,378·0,378 = 0,05401` Comprovem que `1·0,240642+3·0,146242+3·0,088874+1·0,05401 = 1` La mitjana `mu=n·p=3·0,378 = 1,134` I la desviació típica `sigma=\sqrt{n·p·q}=\sqrt{3·0,378·0,622}=0,83985` Finalment la gràfica seria:  Si dibuixem la gràfica per a `n=4` i a sobre hi dibuixem la funció de distribució normal corresponent a la mitjana `mu=4·0,378 = 1,512` i la desviació típica `sigma=\sqrt{4·0,378·0,622}=0,969775`.  Si `n=50` i dibuixem la gràfica juntament amb la funció de distribució normal corresponent a la mitjana i desviació típica:  Observem que a gfunció de distribució normal s'assembla molt a la binomial. La qual cosa implica que si volem saber la probabilitat entre dos valors de `n` si ho aproximem fent servir la normal el resultat tendeix a igualar-se a mesura que `n` és més gran. I, estrictament, quan `p approx 0,5` millor. Això s'en diu, aproximació a la normal de la binomial. I ho farem servir molt. |